Высота угла: Что такое высота треугольника? Ответ на webmath.ru

Равнобедренный треугольник. Свойства, признаки, высота

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

445.3K

В равнобедренном треугольнике прекрасно всё: и три угла, и два симметричных бедра. Полюбуемся этой фигурой, а заодно узнаем ее свойства, признаки и формулы, чтобы решать задачки легко.

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

 

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.


2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.


3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.


4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK).

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

1. Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

2. Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

3. Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

1. Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

2. Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

3. Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

1. Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

2. Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

3. Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Ответ: ∠B = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

1. Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

2. А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

3. Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Ответ: 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

131.4K

Как сокращать алгебраические дроби?

К следующей статье

169.2K

Как найти среднюю линию треугольника?

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Высота треугольника

Урок содержит описание свойств и формулы нахождения высоты треугольника, а также примеры решения задач. Если Вы не нашли решение подходящей задачи — пишите про это на форуме

. Наверняка, курс будет дополнен. 

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА Высота треугольника – опущенный из вершины треугольника перпендикуляр, проведенный на противолежащую вершине сторону или на ее продолжение. Свойства высоты треугольника: Если в треугольнике две высоты равны, то такой треугольник — равнобедренный В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащих на двух сторонах, непараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины этой стороны всегда можно провести окружность В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника Ортоцентр треугольника Все три высоты треугольника (проведенные из трех вершин) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Для того, чтобы найти точку пересечения высот, достаточно провести две высоты (две прямые пересекаются только в одной точке). Расположение ортоцентра (точка О) определяется видом треугольника. У остроугольного треугольника точка пересечения высот находится в плоскости треугольника. (Рис.1). У прямоугольного треугольника точка пересечения высот совпадает с вершиной прямого угла (Рис.2). У тупоугольного треугольника точка пересечения высот находится за плоскостью треугольника (Рис.3). У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают. У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т. е. тоже совпадают.

ВИСОТА ТРИКУТНИКА Висота трикутника — опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежну вершині бік або на її продовження. Всі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Для того, щоб знайти точку перетину висот, досить провести дві висоти (дві прямі перетинаються тільки в одній точці). Розміщення ортоцентра (точка О) визначається видом трикутника. У гострокутного трикутника точка перетину висот знаходиться в площині трикутника. (Мал.1). У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого кута (Мал.2). У тупоугольного трикутника точка перетину висот знаходиться за площиною трикутника (Мал.3). У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються. У рівностороннього трикутника всі три «помітні» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «помітні» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «помітних» ліній, тобто теж збігаються.

 

Формулы нахождения высоты треугольника

Рисунок приведен для облегчения восприятия формул нахождения высоты треугольника. Общее правило — длина стороны обозначена маленькой буквой, лежащей напротив соответствующего угла. То есть сторона a лежит напротив угла A.
Высота в формулах обозначается буквой h, нижний индекс которой соответствует стороне, на которую она опущена.

Другие обозначения:
a,b,c — длины сторон треугольника
h_a — высота треугольника, проведенная к стороне a из противолежащего угла
h_b — высота, проведенная к стороне b
h_c — высота, проведенная к стороне c
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности

Пояснения к формулам.
Высота треугольника равна произведению длины стороны, прилежащей к углу, из которой опущена эта высота на синус угла между этой стороной и стороной, на которую такая высота опущена (Формула 1)
Высота треугольника равна частному от деления удвоенной величины площади треугольника на длину стороны, к которой опущена эта высота (Формула 2)
Высота треугольника равна частному от деления произведения сторон, прилежащих к углу, из которого опущена эта высота, на удвоенный радиус описанной вокруг него окружности (Формула 4).
Высоты сторон в треугольнике соотносятся между собой в той же самой пропорции, как соотносятся между собой обратные пропорции длин сторон этого же треугольника, а также в той же самой пропорции между собой относятся произведения пар сторон треугольника, которые имеют общий угол (Формула 5). 
Сумма обратных значений высот треугольника равна обратному значению радиуса вписанной в такой треугольник окружности (Формула 6)
Площадь треугольника можно найти через длины высот этого треугольника (Формула 7)
Длину стороны треугольника, на которую опущена высота, можно найти через применение формул 7 и 2.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90⁰) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см

Решение.

Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

AD/DC = DC/BD, то есть

DC²=AD*BD

DC²=9*16

DC=12 см

Задача на применение теоремы Пифагора.

 

Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см.  Разность отрезков BD-AD=5 см. 

Найти: Стороны треугольника ABC. 

Решение. 

1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора

CD²+BD²=BC²

CD²+AD²=AC²

поскольку CD=6

36+BD²=BC²

36+AD²=AC²

Поскольку BD-AD=5, то

BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид

36+(AD+5)²=BC²

36+AD²=AC²

Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой — равенство не будет нарушено. Получим: 

36+36+(AD+5)²+AD²=AC²+BC²

72+(AD+5)²+AD²=AC²+BC²

2.  Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

AC²+BC²=AB²

Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид: 

AC²+BC²=(AD+BD)²

Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда

AC²+BC²=(AD+AD+5)² 

3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:

72+(AD+5)²+AD²=AC²+BC²

AC²+BC²=(AD+AD+5)²

Они имеют общую часть AC²+BC² . Таким образом, приравняем их друг к другу.

72+(AD+5)²+AD²=(AD+AD+5)²

72+AD²+10AD+25+AD²=4AD²+20AD+25

-2AD²-10AD+72=0 

В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:

х₁=-3,5

x₂=4 

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.

AD=4

Соответственно

BD = AD + 5 = 9

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:

AC = корень из (52)

BC = корень из (117).

0  

 Треугольник (Трикутник) | Описание курса | Сумма углов треугольника 

   

Средний рост и вес корнербека НФЛ в 2023 году – Хортон Барбелл

Футбол

Тренер Хортон 2 апреля 2023 г.

Я работаю тренером по спортивным достижениям уже 20 лет. Одна вещь, которую я всегда считал эффективной, — это показывать парням рост и вес игроков на их позиции в НФЛ.

Это помогло многим игрокам получить дополнительную мотивацию, необходимую для набора веса, когда они смогли сравнить себя с парнями на следующем уровне. (Иногда это было даже суровой проверкой реальности, скажем, для защитников, которые считали 175 фунтов «средним размером» для игры в НФЛ. )

Итак, это, по сути, то же самое исследование, которым я бы поделился с игроками, но теперь я делюсь им с вами. Я взял активные составы из 53 человек на сезон 2022 года (незадолго до последней недели сезона — январь 2023 года), всего почти 1700 игроков, и разбил их по позициям.

Для этого руководства я взял среднее значение роста и веса 153 активных крайних защитников* в лиге. Кроме того, просто для развлечения, я также перечислил самых высоких, самых низких, самых тяжелых и самых легких крайних защитников. Давай, порази кого-нибудь уже сегодня своими новообретенными случайными футбольными знаниями.

Примечание редактора: около 60 игроков перечислены просто как DB. Не имея возможности узнать, является ли он крайним защитником или защитником (или, возможно, они играют исключительно на никель или десять центов), я полностью исключил их из всех своих результатов.

Средний рост корнербека НФЛ

Средний рост корнербека НФЛ составляет 71,88 дюйма (чуть меньше 6 футов 0 дюймов).

Средний вес корнербека НФЛ

Средний вес корнербека НФЛ составляет 193,53 фунта.

Кто самые высокие защитники НФЛ?

Только 4 крайних защитника указаны ростом 6 футов 4 дюйма или выше. Это:

• Кит Тейлор — 6 футов 5 дюймов — Пантеры
• Тарик Шерстяной – 6’4″ – Сихокс
• Нахшон Райт — 6 футов 4 дюйма — Ковбои
• Исраэль Мукуаму — 6’4″ — Ковбои

Кто самые низкорослые корнербеки в НФЛ?

В лиге есть около дюжины угловых, имеющих размер 5 футов 9 дюймов. Но только два на 5’8″.

• Амик Робертсон — 5 футов 8 дюймов — Рейдеры
• Маркус Джонс — 5 футов 8 дюймов — Патриоты

Кто самые тяжелые корнербеки в НФЛ?

В целом угловые — одни из самых маленьких игроков в лиге. Только 6 парней числятся в рейтинге 210 и выше.

• Брэндон Стивенс — 215 фунтов — Вороны
• Лонни Джонсон — 213 фунтов — Титаны
• Tariq Woolen — 210 фунтов — Seahawks
• Ксавье Роудс — 210 фунтов — купюры
• Майк Джексон – 210 фунтов – Сихокс
• Джеймс Брэдберри — 210 фунтов — Иглз

Кто самые легкие корнербеки в НФЛ?

Несмотря на то, что вам не обязательно весить более 200 фунтов, чтобы быть корнером НФЛ, похоже, что существует довольно стандартный минимальный вес. Только 5 парней весят меньше 180 фунтов.

• Маркус Джонс – 175 фунтов – Патриоты
• Брандин Эчолс — 175 фунтов — Самолеты
• Кордейл Флотт — 175 фунтов — Гиганты
• Герцог Шелли — 176 фунтов — Викинги
• Леви Уоллес — 179 фунтов — Steelers

Заключительные мысли

Итак, что я узнал?

Все угловые защитники попадают в довольно узкое окно, когда дело доходит до веса. 84 из 153 (54,9%) угловых упали между 190 и 200 фунтами.

У «Сихоукс» давняя репутация сильных защитников под руководством Пита Кэрролла, которая, кажется, все еще держится. Тарик Вулен и Майк Джексон играют в Сиэтле.

Другие позиции

Я сделал такую ​​же разбивку по росту и весу для других позиций, включая:

• Квотербеки
• Широкие приемники
• Бегущие спины
• узкие концы

Ресурсы

NFL.com

Поделитесь этим

Тренер Хортон

Хортон Штанга была создана Райаном Хортоном, который почти 20 лет работал тренером по силовой и физической подготовке и спортивным ученым в таких школах, как Университет Теннесси, Университет Темпл и Технологический институт Джорджии. Миссия Horton Barbell — создать тренировочный ресурс, который поможет как можно большему количеству тренеров и спортсменов максимально раскрыть свой потенциал.

Похожие сообщения

38-дюймовый угловой стол-конвертер – VIVO

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПРОДУКТ

Был куплен для моей жены, которая постоянно работает из дома. Осталась очень довольна качеством сборки и простотой эксплуатации.

Важно!

Легко собирается/легко регулируется по высоте/ рекомендовали нескольким коллегам. Любить это!

Ожидания оправдались!

Этот стол у меня уже около месяца. Я использую его на моем столе на работе. Это чудесно! В него легко помещаются 2 монитора. В коробке он был тяжелым, поэтому, чтобы доставить его на работу, я сначала распаковал его. Муж легко поднял. Минимальная сборка стала проще после просмотра видео. Он удобен в использовании — он легко поднимается, и я использовал его на разной высоте. У меня 5 футов 8 дюймов, и это удобно. Это также отличная подставка для мониторов, когда она плоская, а широкая полка для клавиатуры очень хороша. В целом, это действительно хороший товар по разумной цене, который стоит вложений

По большей части доволен

Печально, что лоток для клавиатуры не выдвигается. Кроме того, когда устройство поднято, будьте осторожны, чтобы не опираться на него… оно может опрокинуться.

крепления постоянно скользят и не удерживают мониторы под заданным углом.

Крепления плохо удерживают компьютерные мониторы. Они постоянно наклоняются вперед. Из-за этого мониторы трудно передвигать, особенно из положения сидя в положение стоя. Они просто продолжают наклоняться вперед независимо от того, как вы регулируете и затягиваете насадку.

123

Простота сборки и использования

ГЛАДКИЕ ПЕРЕХОДЫ ИЗ СЕДА В СТОЯ

УГЛОВАЯ ПОДСТАВКА СТОЛА

Обеспечивает стояние по требованию в течение дня, позволяя свободно вставать со стула и снимать мышечное напряжение, снижать стресс и повышать производительность. Выдерживает вес до 33 фунтов, легко удерживает несколько мониторов и/или комбинации ноутбуков и мониторов.

ПОДЪЕМ НА 10 000 ЦИКЛОВ

Запатентованная конструкция X-образной рамы

Запатентованная конструкция X-образной рамы рассчитана на 10 000 подъемных циклов с надежным, но плавным пневматическим усилителем подъема, позволяющим неограниченно регулировать высоту, чтобы найти идеальную высоту.

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПРОДУКТ

Куплен для моей жены, которая постоянно работает дома. Осталась очень довольна качеством сборки и простотой эксплуатации.

Важно!

Легко собирается/легко регулируется по высоте/ рекомендовали нескольким коллегам. Любить это!

Ожидания оправдались!

Этот стол у меня уже около месяца. Я использую его на моем столе на работе. Это чудесно! В него легко помещаются 2 монитора. В коробке он был тяжелым, поэтому, чтобы доставить его на работу, я сначала распаковал его. Муж легко поднял. Минимальная сборка стала проще после просмотра видео. Он удобен в использовании — он легко поднимается, и я использовал его на разной высоте. У меня 5 футов 8 дюймов, и это удобно. Это также отличная подставка для мониторов, когда она плоская, а широкая полка для клавиатуры очень хороша. В целом, это действительно хороший товар по разумной цене, который стоит вложений

По большей части доволен

Печально, что лоток для клавиатуры не выдвигается. Кроме того, когда устройство поднято, будьте осторожны, чтобы не опираться на него… оно может опрокинуться.

крепления постоянно скользят и не удерживают мониторы под заданным углом.

Крепления плохо удерживают компьютерные мониторы. Они постоянно наклоняются вперед. Из-за этого мониторы трудно передвигать, особенно из положения сидя в положение стоя. Они просто продолжают наклоняться вперед независимо от того, как вы регулируете и затягиваете насадку.

123

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПРОДУКТ

Это было куплено для моей жены, которая постоянно работает из дома. Осталась очень довольна качеством сборки и простотой эксплуатации.

Важно!

Легко собирается/легко регулируется по высоте/ рекомендовали нескольким коллегам. Любить это!

Ожидания оправдались!

Этот стол у меня уже около месяца. Я использую его на моем столе на работе. Это чудесно! В него легко помещаются 2 монитора. В коробке он был тяжелым, поэтому, чтобы доставить его на работу, я сначала распаковал его. Муж легко поднял. Минимальная сборка стала проще после просмотра видео. Он удобен в использовании — он легко поднимается, и я использовал его на разной высоте. У меня 5 футов 8 дюймов, и это удобно. Это также отличная подставка для мониторов, когда она плоская, а широкая полка для клавиатуры очень хороша. В целом, это действительно хороший товар по разумной цене, который стоит вложений

По большей части доволен

Печально, что лоток для клавиатуры не выдвигается. Кроме того, когда устройство поднято, будьте осторожны, чтобы не опираться на него.