14. Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник | 9. Анализ цепей постоянного тока | Часть1
14. Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник
Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник
Во многих схемах можно встретить такие конфигурации компонентов, в которых невозможно выделить последовательные или параллельные цепи. К этим конфигурациям относятся соединения компонентов в виде звезды (Y) и треугольника (Δ):
Очень часто, в ходе анализа электрических цепей, оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически, чаще возникает необходимость преобразования треугольника в звезду. Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. Иными словами, эквивалентные Δ и Y цепи ведут себя одинаково.
Существует несколько уравнений, используемых для преобразования одной цепи в другую:
Δ и Y цепи очень часто встречаются в 3-фазных сетях переменного тока, но там они, как правило, сбалансированы (все резисторы равны по значению) и преобразование одной цепи в другую не требует таких сложных расчетов. Тогда возникает вопрос: где мы сможем использовать эти уравнения?
Использовать их можно в несбалансированных мостовых схемах:
Анализ данной схемы при помощи Метода Токов Ветвей или Метода Контурных Токов довольно сложен. Теорема Миллмана и Теорема Наложения здесь тоже не помощники, так как в схеме имеется только один источник питания. Можно было бы использовать теорему Тевенина или Нортона, выбрав в качестве нагрузки резистор R3, но и здесь у нас вряд ли что-нибудь получится.
Помочь в этой ситуации нам сможет преобразование треугольник — звезда. Итак, давайте выберем конфигурацию резисторов R 1, R2 и R3, представляющих собой треугольник (Rab, Rac и Rbc соответственно), и преобразуем ее в звезду:
После преобразования схема примет следующий вид:
В результате преобразования у нас получилась простая последовательно-параллельная цепь. Если мы правильно выполним расчеты, то напряжения между точками А, В и С преобразованной схемы будут аналогичны напряжениям между этими же точками исходной схемы, и мы сможем вернуть их обратно.
Сопротивления резисторов R4 и R5 остаются неизменными: 18 и 12 Ом соответственно. Применив к схеме последовательно-параллельный анализ, мы получим следующие значения:
Теперь, используя значения напряжений из приведенной выше таблицы, нам нужно рассчитать напряжения между точками А, В и С. Для этого мы применим обычную математическую операцию сложения (или вычитания для напряжения между точками В и С):
Переносим эти напряжения в исходную схему (между точками А, В и С):
Напряжение на резисторах R4 и R5 останется таким же, каким оно было в преобразованной схеме.
К данному моменту у нас есть все необходимые данные для определения токов через резисторы (используем для этой цели Закон Ома I = U / R):
Моделирование при помощи программы PSPICE подтвердит наши расчеты:
ТОЭ Лекции- №7 Преобразование треугольника и звезды сопротивлений
Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 7.1, а.
Расчет можно осуществить одним из описанных выше методов. Но так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.
Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 7.2.
Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.
Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:
а) при преобразовании треугольника в звезду:
б) при преобразовании звузды в треугольник:
Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.
При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.
Пример 1.3. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 1.12, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.
а) Решение преобразованием треугольника в звезду.
Теперь общее сопротивление цепи легко находится:
Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен:
Токи в паралельных ветвях:
Возвращаемся к исходной схеме (рис. 7.1, а):Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1–I3 = 26–28 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5 противоположно указанному на схеме.
б) Решение преобразованием звезды в треугольник.
Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. 7.1, а сопротивлениями R1, R5 и R3, в эквивалентный треугольник (рис. 7.1, в).
Определяем сопротивления треугольника:
Теперь рассчитываем преобразованную цепь. Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:
Затем определяем общее сопротивление и токи:
Возвращаемся к исходной схеме:
Рекомендуем подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными в примере 1.3а.
Основы электротехники и электроники: Курс лекций, страница 7
Вернемся к схеме на Рис. 9.2
.
Ток, втекающий в узел, – это, несомненно, . Согласно правилу параллельного разброса:
.
.
Теперь находим составляющие токов, создаваемых источником ЭДС. Для этого удаляем из схемы источник тока. Так как внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико, на его месте (между точками a и b) оставляем разрыв (Рис. 9.4).
Рис. 9.4
Цепь на Рис. 9.4 – это одноконтурная цепь. Здесь
,
.
С другой стороны, ток можно найти по закону Ома:
.
Наконец, находим реальные токи (см. Рис. 9.1):
.
Метод наложения не может использоваться для расчета мощности, поскольку мощность пропорциональна не току, а квадрату тока.
Заметим также, что метод наложения применим только к линейным цепям.
10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗВЕЗДЫ В ТРЕУГОЛЬНИК И ТРЕУГОЛЬНИКА В ЗВЕЗДУ
Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (Рис. 10.1а), называют звездой, а соединение трех сопротивлений, при котором они образуют стороны треугольника (Рис. 10.1б), называют треугольником. В узлах 1, 2, 3 звезда и треугольник соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).
а)
б)
Рис. 10.1
Токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, имеют обозначения . Потенциалы узлов 1, 2 и 3 – .
Часто при расчетах электрических цепей необходимо преобразовывать треугольник в звезду или звезду в треугольник. Если преобразование выполнить таким образом, что потенциалы узлов
Для звезды по первому закону Кирхгофа:
. (10.1)
Здесь и далее знак над током означает, что формула относится к звезде.
Но, с другой стороны, из закона Ома получаем соотношения:
. (10.2)
Подставим (10.2) в (10.1) и найдем :
. (10.3)
Так как в треугольнике нет узла 0, исключим потенциал этого узла из соотношений (10.2). Для этого подставляем (10.3) в (10.2) и, в частности, для тока получим выражение:
. (10.4)
Для треугольника по первому закону Кирхгофа:
. (10.5)
Здесь и далее знак над током означает, что формула относится к треугольнику.
Так как токи, подтекающие извне к звезде и треугольнику, равны, приравняем и из (10.4) и (10.5). Проделаем эту операцию и для других токов и после преобразований получим:
,
, (10.6)
, (10.7)
. (10.8)
Из выражений (10.6-10.8) получаются формулы сопротивлений при преобразовании звезды в треугольник:
, (10.9)
, (10.10)
. (10.11)
Из полученных формул выводятся обратные, для преобразования треугольника в звезду:
, (10.12)
, (10.13)
. (10.14)
Чтобы запомнить и правильно использовать формулы (10.9-10.14), можно порекомендовать следующий прием.
При преобразовании звезды в треугольник установить два пальца в те узлы, к которым будет подсоединяться ветвь треугольника. Искомое сопротивление ветви треугольника будет равно сумме сопротивлений лучей звезды, подходящих к пальцам, плюс произведение этих сопротивлений, деленное на сопротивление оставшегося луча.
При преобразовании треугольника в звезду установить один палец в тот узел, к которому будет подсоединяться луч звезды. Искомое сопротивление луча звезды – это произведение сопротивлений ветвей, подходящих к пальцу, деленное на сумму сопротивлений всех трех ветвей треугольника.
Если сопротивления всех ветвей звезды или треугольника равны, такие звезда и треугольник называются симметричными. Сопротивления ветвей эквивалентных симметричных звезды и треугольника связаны соотношением, которое можно вывести из (10.9-10.14):
.
Пример 10.1:
Решить задачу (Рис. 10.2).
Рис. 10.2
Преобразуем звезду R4, R5, R6 в эквивалентный треугольник Rab, Rbc, Rac (Рис. 10.3).
Рис. 10.3
Рассчитываем параметры треугольника:
.
Сворачиваем сопротивления параллельных ветвей:
.
Сворачиваем все сопротивления в одно эквивалентное:
.
Находим ток по закону Ома:
.
11. СВЕРТКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЕТВЕЙ В ОДНУ ЭКВИВАЛЕНТНУЮ
Пусть несколько параллельных ветвей (с источниками и без) располагаются между ветвями a и b (Рис. 11.1 а). При этом извне в узел a втекает ток I, а из узла b этот же ток вытекает. Заменим эти параллельные ветви одной эквивалентной, содержащей ЭДС Eэкв и сопротивление Rэкв (Рис. 11.1 б).
а)
б)
Рис. 11.1
Для этого запишем уравнения по первому закону Кирхгофа и закону Ома для параллельных ветвей:
, (11.1)
, (11.2)
, (11.3)
Метод преобразования треугольника и звезды сопротивлений
Расчет и исследование сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно облегчить и сделать более наглядным путем преобразования электрических схем одного вида в схемы другого вида. Одним из способов является эквивалентное преобразование треугольника в звезду. В этом методе выполняется преобразование пассивной части электрической цепи, т.е. приемников электрической энергии.
Определение соединения сопротивлений треугольником
Если три сопротивления соединены так, что образуют собою стороны треугольника, то такое соединение сопротивлений называют треугольником сопротивлений.
Соединение, при котором три сопротивления, находящиеся в пассивных ветвях, соединены между собою попарно и образуют замкнутый контур — называется треугольником.
Обычно в курсе электротехники принято элементы рисовать только горизонтально и вертикально. На следующем рисунке так же представлено соединение треугольником.
Определение соединения сопротивлений звездой
Если соединение трех сопротивлений имеет общий узел и имеет внешний вид трехлучевой звезды, то такое соединение сопротивлений называется звездой.
Причина преобразования треугольника в звезду
При расчете электрической цепи бывают случаи, когда нет ни последовательных, ни параллельных соединений сопротивлений. В этом случае можно попробовать отыскать соединение сопротивлений треугольником и выполнить экивалентное преобразование треугольника в звезду.
Если в электрической цепи нашли соединение сопротивлений треугольником, то в узлы соединения сопротивлений подставляем концы лучей соединения сопротивлений в виде звезды.
Далее убираем (удаляем первоначальное) соединение треугольником. В результате получается эквивалентное соединение звездой.
Формулы для расчета преобразования треугольника в звезду
Пример преобразования
Для электрической цепи необходимо выполнить преобразование треуголькника R12 — R23 — R31 в звезду.
Добавляем к узлам подключения сопротивлений треугольником концы лучей подключения сопротивлений звездой.
Удаляем соединение сопротивлений треугольником. В результате остается подключение сопротивлений звездой. По формулам рассчитываются значения сопротивлений R1, R2, R3.
Вы здесь
Методы расчета резисторных схем постоянного тока
3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»
Рассматриваемый метод основан на том, что сложную схему, имеющую три вывода (узла), можно заменить другой, с тем же числом выводов (узлов). Замену следует произвести так, чтобы сопротивление участка между двумя любыми выводами новой схемы было таким же, как у прежней. В результате получится цепь, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Общее сопротивление обеих цепей будет одинаковым. Однако, поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, такую замену можно проводить только в тех случаях, когда не надо находить распределение токов.
Подобные преобразования широко известны для случая двух выводов. Так, например, два резистора сопротивлениями R1 и R2, включенные последовательно, можно заменить одним резистором сопротивлением R1 + R2. Если резисторы включены параллельно, то их можно заменить одним резистором сопротивлением
И в этих случаях распределение токов в цепи (или в части цепи) претерпевает изменения. Рассмотрим более сложное преобразование схем, имеющих три вывода (трехполюсников). Иначе это называется преобразованием «звезды» (рис. а) в «треугольник» (рис. б), и наоборот.
Сопротивления резисторов в схеме «звезда» обозначаются с индексом точки, с которой соединен этот резистор, например, резистор r1 соединен с точкой 1. В «треугольнике» индексы резисторов соответствуют точкам, между которыми они включены, например, резистор R13 подключен к точкам 1 и 3. Как отмечено выше, чтобы заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между их сопротивлениями, чтобы эквивалентные сопротивления между любыми точками были одинаковы для обеих схем (при условии сохранения числа этих точек). Так, в «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r1 + r2, в «треугольнике»
следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:
Аналогично для точек 2 и 3 и для точек 1 и 3:
Сложим все эти уравнения и, поделив обе части на 2, получим:
Вычитая из этого уравнения поочередно предыдущие, получим:
Эти выражения легко запомнить:
знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева:
$r_1
ightarrow R_<12>R_<13>, r_2
ightarrow R_<12>R_<23>, r_3
ightarrow R_<13>R_<23>$.
Аналогично получают и формулы обратного преобразования:
Последние выражения также легко запомнить и проверить:
числитель у всех уравнений один и тот же, а в знаменателе стоит сопротивление резистора с индексом, которого не достает в левой части выражения.
Этот метод представляет собой наиболее универсальный подход к решению практически всех типов задач на разветвленные цепи.
Задача 27. Определите сопротивление цепи АВ (рис.), если R1 = R5 = 1 Ом, R2 = R6 = 2 Ом, R3 = R7 = 3 Ом, R4 = R8 = 4 Ом.
Решение. Преобразуем «треугольники» R1R2R8 и R4R5R6 в эквивалентные «звезды». Схема примет иной вид (рис.).
Сопротивления $r_1, r_2, …, r_6$ найдем по формулам:
Теперь нет никаких препятствий для расчета схемы, которая состоит из последовательно и параллельно соединенных резисторов (рис.). После простых расчетов получим
Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду
Иногда для облегчения расчетов применяют преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.
Треугольник сопротивлений представляет собой треугольник сторонами которого является сопротивления (рис. 1).
Преобразование треугольника в звезду значительно упрощает схему рис.2 а — до преобразования, б — после.
Итак начнём преобразование:
- Для удобства обозначим узлы (углы) треугольника буквами A, B, C.
- Найдём сопротивления лучей звезды по формулам. Сумма сопротивлений ветвей выходящих из узла (угла треугольника) делённая на сумму всехсопротивлений треугольника.
- Начертим новую схему с преобразованным треугольником в звезду. (Рисунок 2,б)
Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник
В расчетах также возникает потребность обратной операции, то есть
преобразование звезды в треугольник. В задании нам известны сопротивление лучей звезды, и нам нужно рассчитать сопротивления сторон треугольника. По формуле — сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений лучей звезды прилегающих к данной стороне треугольника и произведения их, деленного на оставшийся луч звезды.
Преобразование звезды в треугольник и треугольник в звезду
Условимся соединение трёх резисторов, имеющих вид трехлучевой звезды (рис. 31), называть соединение «звезда», а соединение трёх резисторов так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 32), называть соединением «треугольник».
Рис. 31. Соединение «звезда» Рис. 32. Соединение «треугольник»
Обозначим потенциалы узлов 1, 2, 3 через φ1, φ2, φ3. Токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3 обозначим через I1, I2, I3.
Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов φ1, φ2, φ3 одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим узлам токи будут одинаковые, то вся внешняя схема не заметит произведённой замены.
Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I1, I2 и I3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек 1, 2, 3 и собственные проводимости.
Для звезды
I1 + I2 + I3 = 0, (120)
I1 = (φ1 — φ0)g1; I2 = (φ2 — φ0)g2; I3 = (φ3 — φ0)g3; (121)
Подставим (121) в (120) и найдем ϕ0
φ1g1 + φ2g2 + φ3g3 — φ0(g1 + g2 + g3) = 0
Отсюда
φ0 = (122)
Далее, выведем φ0 в выражении для тока I1
I1 = (φ1 — φ0)g1 = g1 = (123)
Обратимся к соединению треугольником. В соответствии с обозначениями на рис. 32:
I1 = I12 – I31 = (φ1 – φ2)g12 — (φ3 – φ1)g13 = φ1 (g12 + g13) – φ3g13 — ϕ2g12 (124)
Так как ток I1 в схеме рис. 31 должен равняться току I1 в схеме рис. 32 при любых значениях потенциалов φ1, φ2, φ3, то коэффициент при φ2 в правой части (124) должен равняться коэффициенту при φ2 в правой части (123), а коэффициент при φ3 в правой части (124) должен равняться коэффициенту при φ3 в правой части (123).
Следовательно,
g12= (125)
g13= (126)
Аналогично,
g23= (127)
Формулы (125) – (127) дают возможность найти проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды.
Из уравнений (125), (126), (127), выразим сопротивления лучей звезды
R1= ; R2= ; R3=
Через сопротивления сторон треугольника.
R12= ; R23= ; R31=
С этой целью запишем дробь, обратную (125)
R12= = = = (128)
Здесь
m=(R2*R3 + R1*R3 + R1*R2) (129)
Аналогично
R23= (130)
R13= (131)
Отсюда
R1= ; R2= ; R3= ; (132)
Подставим (132) в (129):
m = + + = m2 = = m2
Следовательно
m = (133)
Подставим (133) в (132)
R1= ; (134)
R2= (135)
R3= (136)
Формулы (134) – (136) дают возможность найти сопротивления лучей звезды через сопротивления сторон треугольника.
Структура формул (134), (135), (136) легко запоминаются. В знаменателе стоит сумма сопротивлений треугольника. В числителе стоят произведения сопротивлений резисторов, примыкающих к узлам 1, 2, 3 соответственно.
Очень часто при расчёте электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или совершить преобразование звезды в треугольник. Практически чаще встречается потребность преобразования треугольника в звезду, чем в обратном преобразовании.
Полезность преобразования треугольника в звезду может быть проиллюстрирована, например, на схеме рис. 33.
Рис. 33. Схема для определения входного сопротивления
Надо определить входное сопротивление схемы относительно зажимов «d» и «с». Соединение резисторов смешанное, нет явно выраженного последовательного или параллельного соединения.
Преобразуем треугольник резисторов R4, R5, R6 в эквивалентную звезду. Штриховыми линиями на рис. 33 обозначена эквивалентная звезда.
Изобразим получившуюся схему на рис. 34.
Рис. 34. Преобразованная схема
Согласно вышеизложенному
R45= ; (137)
R46= (138)
R56= (139)
На схеме рис. 34 видно, что R2 и R45 соединены последовательно. R1 и R46 так же соединены последовательно. Эти упомянутые ветви соединены параллельно. И к этому сопротивлению последовательно включён R56
Rвхdc = + R56 (140)
Теорема взаимности
В любой, сколь угодно сложной линейной цепи ток в к-ой ветви, вызванный ЭДС Еm, находящейся в m-ой ветви
Ik=Emgkm (141)
будет равен току Im в m-ой ветви, вызванному ЭДС Ек (численно равной ЭДС Еm), находящейся в к-ой ветви
Im=Ekgkm (142)
Согласно вышеизложенному взаимная проводимость между к-ой и m-ой ветвями gkm равно, взаимной проводимости между m-ой и к-ой ветвями gmk, хотя определяются они по разным схемам:
gkm=gmk (143)
Поэтому и выполняется теорема взаимности.
Узнать еще:
|
Какова формула, чтобы выяснить, как далеко находится звезда? [Дубликат]
Один метод включает в себя поиск переменной цефеиды в окрестности звезды или даже в галактике, которую вы исследуете. Эти звезды различаются по яркости с периодом, тесно связанным с их абсолютной величиной. Измеряя период, вы можете узнать, насколько ярко он будет выглядеть на расстоянии, скажем, одного светового года. Используя фотометр, вы можете измерить его видимую величину и выяснить, как далеко вы должны видеть его, как видите.
С указанной веб-страницы:
В 1924 году Эдвин Хаббл обнаружил цефеиды в туманности Андромеды, M31 и в туманности Треугольника M33. Используя их, он определил, что их расстояния были 900 000 и 850 000 световых лет соответственно. Таким образом, он окончательно установил, что эти «спиральные туманности» на самом деле были другими галактиками, а не частью нашего Млечного Пути. Это было знаковое открытие и значительно расширило масштабы его известной вселенной
Для другого метода представьте это:
Посмотри внимательно на Сириуса невооруженным глазом сегодня вечером. Завтра возьмите кусок латуни с маленькими отверстиями различного размера и посмотрите, какой из них, когда его держат на солнце, кажется таким же ярким, как Сириус. Зная площадь этой дыры, зная, какую долю солнечного диска вы могли бы видеть через эту дыру, и предполагая, что солнце — это звезда, похожая на Сириус , вы теперь знаете, насколько ярким было бы солнце, если бы оно было так далеко как Сириус, и вы можете сделать обоснованное предположение, как далеко Сириус от Земли.
Если около 1650 года вы Христиан Гюйгенс, и вы предполагаете, что все звезды одинаковы, то вы внесли огромный вклад в наше понимание вселенной. Однако, поскольку Сириус излучает примерно в 25 раз больше света, чем Солнце, ответ Гюйгенс был всего лишь около 30 000 а.е., эпическая недооценка. Тем не менее, первые научные доказательства намекают на истинный размер нашей вселенной.
Преобразование звезды в треугольник: преобразование, диаграмма и формула
Три ветви в электрической сети могут быть соединены в нескольких формах, но наиболее распространенной из них является форма звезды или треугольника. При соединении треугольником три ветви соединены так, что образуют замкнутый контур. Поскольку эти три ветви соединены носом с хвостом, они образуют треугольную замкнутую петлю, эта конфигурация называется соединением треугольником. С другой стороны, когда любой из выводов из трех ветвей подключается к общей точке, чтобы сформировать Y-образный узор, это называется звездообразным соединением.Но эти связи звезды и дельты могут быть преобразованы из одной формы в другую. Для упрощения сложной сети часто требуется преобразование из треугольника в звезду или из звезды в дельта .
Преобразование треугольника в звезду
Замена треугольника или сетки эквивалентным соединением звездой известна как преобразование треугольник — звезда . Эти два соединения эквивалентны или идентичны друг другу, если импеданс измеряется между любой парой линий. Это означает, что значение импеданса будет одинаковым, если оно измеряется между любой парой линий, независимо от того, соединена ли дельта между линиями или ее эквивалентная звезда соединена между этими линиями.
Рассмотрим дельта-систему с тремя угловыми точками: A, B и C, как показано на рисунке. Электрическое сопротивление ответвления между точками A и B, B и C, а также C и A составляет 1 R, 2 R R и 3 R R соответственно.
Сопротивление между точками A и B будет равно
Теперь одна звездная система подключена к этим точкам A, B и C, как показано на рисунке. Три плеча R A , R B и R C звездной системы соединены с A, B и C соответственно.Теперь, если мы измерим значение сопротивления между точками A и B, мы получим
Поскольку две системы идентичны, сопротивление, измеренное между клеммами A и B в обеих системах, должно быть одинаковым.
Аналогично, сопротивление между точками B и C одинаково в двух системах,
И сопротивление между точками C и A одинаково в двух системах,
Складывая уравнения (I), (II) и (III), получаем ,
Вычитая уравнения (I), (II) и (III) из уравнения (IV), получаем:
Соотношение преобразования дельта-звезда можно выразить следующим образом.
Эквивалентное сопротивление звезды, подключенного к данной клемме, равно произведению двух сопротивлений треугольника, подключенных к одной и той же клемме, на сумму сопротивлений, подключенных треугольником.
Если система, соединенная треугольником, имеет одинаковое сопротивление R на трех сторонах, то эквивалентное сопротивление звезды r будет,
Преобразование звезды в треугольник
Для преобразования звезда-треугольник мы просто умножаем уравнения (v), (VI) и (VI), (VII) и (VII), (V), то есть, выполняя (v) × (VI) + (VI) × (VII) + (VII) × (V), мы получаем,
Теперь разделив уравнение (VIII) уравнениями (V), (VI) и уравнениями (VII) по отдельности получаем,
Видео-презентация преобразования дельты в звезду
Преобразование дельта-звезда
Чтобы преобразовать дельта-сеть в эквивалентную звездную сеть, мы необходимо получить формулу преобразования для приравнивания различных резисторов друг к другу между различными клеммами.Рассмотрим схему ниже.
Сеть дельта-звезда.
Сравните сопротивления между клеммами 1 и 2.
Сопротивление между клеммами 2 и 3.
Сопротивление между клеммами 1 и 3.
Теперь мы получаем три уравнения и уравнение 3 из уравнения 2 дает:
Затем, переписывая уравнение 1, мы получим:
Сложив вместе уравнение 1 и результат уравнения 3 минус уравнение 2, получим:
Отсюда получаем Окончательное уравнение для резистора P выглядит следующим образом:
Затем, чтобы немного резюмировать приведенную выше математику, мы можем теперь сказать, что резистор P в сети Star можно найти как уравнение 1 плюс (уравнение 3 минус уравнение 2) или уравнение 1 + (уравнение 3). — уравнение 2).
Аналогичным образом, чтобы найти резистор Q в звездообразной сети, нужно уравнение 2 плюс результат уравнения 1 минус уравнение 3 или Eq2 + (Eq1 — Eq3), и это дает нам преобразование Q как:
и снова, Чтобы найти резистор R в сети Star, это уравнение 3 плюс результат уравнения 2 минус уравнение 1 или Eq3 + (Eq2 — Eq1), и это дает нам преобразование R как:
При преобразовании дельта-сети в Звездная сеть знаменатели всех формул преобразования одинаковы: A + B + C, и это сумма ВСЕХ дельта-сопротивлений.Затем, чтобы преобразовать любую сеть с дельта-соединением в эквивалентную звездообразную сеть, мы можем резюмировать приведенные выше уравнения преобразования как:
Уравнения преобразования дельты в звезду
Пример №1
Преобразуйте следующую дельта-резистивную сеть в эквивалентную звездную сеть.
Преобразование звезды в треугольник
Выше мы видели, что при преобразовании из сети треугольник в эквивалентную сеть звезды резистор, подключенный к одной клемме, является произведением двух сопротивлений треугольника, подключенных к одной клемме, например, резистор P — это произведение резисторов A и B, подключенных к клемме 1.Немного переписав предыдущие формулы, мы также можем найти формулы преобразования для преобразования резистивной звездообразной сети в эквивалентную дельта-сеть, что дает нам способ произвести преобразование звезда-дельта, как показано ниже.
От звезды к сети Delta.
Значение резистора на любой стороне треугольника, Δ network — это сумма всех двух произведенных комбинаций резисторов в звездообразной сети, деленная на звездообразный резистор, расположенный «прямо напротив» найденного треугольного резистора. .Например, резистор A задается как:
относительно клеммы 3, а резистор B задается как:
относительно клеммы 2, а резистор C задается как:
относительно клеммы 1.
Разделив каждое уравнение на значение знаменателя, мы получим три отдельные формулы преобразования, которые можно использовать для преобразования любой резистивной дельта-цепи в эквивалентную звездообразную сеть, как показано ниже.
Уравнения преобразования звезды в треугольник
И последний пункт о преобразовании резистивной сети типа звезда в эквивалентную сеть треугольником.Если все резисторы в цепи звезды равны по номиналу, то результирующие резисторы в эквивалентной схеме треугольника будут в три раза больше резисторов звезды и равны, что дает: R DELTA = 3R STAR
Ссылка : Учебники по электронике
Преобразование звезды в треугольник и из треугольника в звезду. Преобразование Y-Δ
Преобразование звезды в треугольник и преобразование из треугольника в звезду — преобразование Y-ΔВ электрической сети сопротивление может быть подключено в различных конфигурациях.Наиболее распространенными из этих конфигураций являются сети, соединенные звездой или треугольником. Чтобы решить сложные электрические сети или упростить их, мы используем метод преобразования звезда-треугольник. Он заменяет любую сеть, соединенную звездой, на эквивалентную сеть, соединенную треугольником, и наоборот. Мы собираемся предоставить краткий вывод формулы для преобразования нагрузки между нагрузкой, подключенной по схеме звезды и треугольника.
Преобразование звезды в треугольникМы знаем основы последовательного, параллельного или комбинированного последовательного и параллельного соединения, но Y-Δ — это еще одна немного сложная конфигурация компонентов.Трехфазные сети состоят из трех проводов, и обычно сети соединяются по схеме звезда-треугольник . Трехфазный источник питания или нагрузка, подключенная в любом из этих образований, может быть преобразована в его эквивалентный аналог. Мы используем такое преобразование для упрощения математических расчетов, необходимых для анализа схем сложной электрической сети.
Сеть с дельта-соединениемСеть с дельта-соединением формируется, когда три ветви сети или сопротивления соединяются в петлю таким образом, что их головки соединяются с хвостами соседней ветви.Результирующая сеть образует треугольную форму, напоминающую греческую букву дельта «Δ», поэтому она названа в ее честь. Она также известна как сеть π (pi), потому что она напоминает букву после перестановки ветвей. Узнайте больше о Delta Connection в предыдущем посте.
Сеть, соединенная звездойСеть, соединенная звездой, образуется, когда три ветви или сопротивления соединяются вместе в общей точке. Остальные концы филиальных сетей свободны.Получившаяся форма напоминает букву «Y», поэтому ее также называют сетью с соединением «Y» или «звезда». Она также известна как сеть с Т-образным соединением из-за ее формы после перестановки ветвей сети. Узнайте больше о Star Connection в предыдущем посте. Схемы, приведенные выше, можно преобразовать с помощью следующего преобразования. Во время преобразования клеммы A, B, C должны оставаться в том же положении, изменяется только импеданс и их расположение. Следующий рисунок иллюстрирует приведенное выше утверждение.
Преобразование из треугольника в звездуСеть, подключенную по схеме «треугольник», можно преобразовать в конфигурацию «звезда» с помощью набора электрических формул. Давайте выведем уравнение для каждого импеданса. На данном рисунке показана дельта-схема с выводами A, B, C с импедансами R 1 , R 2 , R 3 . Эквивалентная сеть, соединенная звездой, с R A , R B и R C , где они подключены к своим соответствующим клеммам, как показано на рисунке.
Как упоминалось ранее, клеммы A, B, C остаются прежними, а также полное сопротивление между ними должно оставаться неизменным.
Суммарный импеданс между A-B в дельта-сети; Аналогично импеданс между клеммами B-CS; Аналогично импеданс между A-CA по схеме звезды;
R AB = R A + R B
R BC = R B + R C
R AC = R A + R C
Теперь сложите уравнение (i), (ii) и (iii) вместе. Теперь вычтите уравнение (i), (ii), & (iii) одно за другим из уравнения (iv)
Сначала вычтите (ii) из (iv) аналогичным образом. вычитание (i) и (iii) из (iv) приводит к полученным уравнениям для звездного эквивалентного импеданса R A , R B и R C , мы можем заключить связь между преобразованиями дельты в звезду как ; Эквивалентный импеданс звезды равен произведению импедансов соседних треугольников с конечным делением на сумму всех трех импедансов треугольника.
В случае все три импеданса равны в дельта-сети, эквивалентное сопротивление звезды будет равно
Поскольку все импедансы во всей дельта-сети равны, каждое три эквивалентных сопротивления звезды будет в 1/3 раза больше импеданса дельта.
Преобразование звезды в треугольникТеперь мы собираемся преобразовать полное сопротивление звезды в полное сопротивление треугольника. Давайте выведем уравнения, используемые для преобразования звезды в дельту.
На данном рисунке показан импеданс при соединении звездой R A , R B и R C. В то время как требуемый импеданс в дельта-эквиваленте составляет R 1 , R 2 и R 3 , как показано на рисунке .
Чтобы найти эквивалентное дельта-сопротивление, умножьте предыдущее уравнение (v) и (vi), а также (vi) и (vii) & (v) и (vii) вместе.
Умножение (v) и (vi) Аналогичным образом умножение (vi) на (vii) и (v) на (vii)
Теперь сложите уравнение (viii), (ix) и (x) вместе, чтобы получить индивидуальный эквивалент дельта импеданса, мы разделим уравнение (xi) на (v), (vi) и (vii) отдельно, например,.
Деление (xi) на (v) Подобное деление уравнения (xi) на (vi) и (vii) по отдельности дает
Соотношение между импедансом в эквиваленте звезды и дельта ясно из данного уравнения. Сумма двух произведений всех импедансов звезды, разделенных на импеданс звезды соответствующей клеммы, равна импедансу треугольника, подключенному к противоположной клемме.
Упрощение уравнений приведет к тому, что в случае, если все импедансы звезды равны, эквивалентное дельта-импеданс будет;
Используя предыдущее уравнение,
Это уравнение предполагает, что каждый эквивалентный дельта-импеданс равен трехкратному импедансу звезды.
Похожие сообщения:
Расчет мощности нагрузки треугольной звезды
Расчет мощности нагрузки треугольной звезды
Есть два основных способа подключения двигателя: соединение звездой и соединение треугольником.
Метод соединения звездой заключается в соединении трех концов трехфазной катушки двигателя вместе в качестве общего конца, а три передних конца соединяют три соединительные линии. Как показано на рисунке, нагрузка фазы A представлена как u1u2, нагрузка фазы B представлена как v1v2, а нагрузка фазы C представлена как w1w2, то есть u2 и v2 соединены вместе с w2, а три провода из u1, v1 и w1) принимается напряжение каждой фазной катушки.Это фазное напряжение 220 вольт, то есть напряжение между линией под напряжением и линией нейтрали (нейтральной линией).
Соединение треугольником — это метод соединения, при котором начало и конец каждой фазы трехфазной катушки двигателя подключаются последовательно. Рисунок Фазная нагрузка представлена как u1u2, нагрузка фазы B представлена как v1v2, нагрузка фазы C представлена как w1w2, фаза A подключена через u1 и w2, фаза B подключена через v1 и u2, фаза C подключена через w1 и v2, и три извлечены.Линия также имеет обозначение u1, v1, w1, а напряжение, которому подвергается каждая фазная катушка, является линейным напряжением 380 вольт, то есть напряжением между линией под напряжением и линией под напряжением.
Этот калькулятор подходит только для чисто резистивных нагрузок, таких как электрические нагреватели. Это не применимо к таким нагрузкам, как двигатели и трансформаторы.
Соединение треугольником | Звездообразное соединение |
склонение — Какова площадь Летнего треугольника?
Площадь треугольника, окруженного 3 звездами на небесной сфере, в квадратных градусах, определяется по формуле:
$$ A = \ frac {180} {\ pi} \ times E $$
Где E — сферическое превышение, равное сумме всех углов треугольника минус 180 °.{-1} \ left ({\ sqrt {\ tan \ left (\ frac {s} {2} \ right) \ times \ tan \ left (\ frac {sa} {2} \ right) \ times \ tan \ left (\ frac {sb} {2} \ right) \ times \ tan \ left (\ frac {sc} {2} \ right)}} \ right) $$
Где a, b и c — угловые расстояния между двумя звездами и, следовательно, сторонами Летнего треугольника в градусах, а $ s = \ frac {a + b + c} {2} $.
Я настоятельно рекомендую вам просто перейти в Wolfram Alpha и просто ввести «Угловое расстояние между звездой 1 и звездой 2» и получить все значения для a, b и c, а затем вы можете рассчитать сферический избыток, а затем и площадь.{-1} \ left (\ sin (\ text {D} _ {1}) \ sin (\ text {D} _ {2}) + \ cos (\ text {D} _ {1}) \ cos ( \ text {D} _ {2}) \ cos (\ text {R} _ {1} — \ text {R} _ {2}) \ right) $$
Где:
$ \ text {D} _ {1} $ и $ \ text {D} _ {2} $ — значения склонения обеих звезд в градусах.
$ \ text {R} _ {1} $ и $ \ text {R} _ {2} $ — значения прямого восхождения для обеих звезд, также в градусах.
Чтобы преобразовать склонение звезды из DMS в градусы, разделите угловые минуты на 60 и угловые секунды на 3600.Например, склонение Веги составляет 38 ° 47 ‘1,28 дюйма. Преобразуя только в градусы, получается:
$$ 38 + \ frac {47} {60} + \ frac {1.28} {3600} = 38.7836 ° $$
Точно такая же формула используется для преобразования прямого восхождения в градусы, с той лишь разницей, что вы умножаете его на 15 в конце. Прямое восхождение Веги — 18ч 36м 56,33с. После преобразования только в градусы получается:
.$$ \ left (18 + \ frac {36} {60} + \ frac {56.33} {3600} \ right) \ times 15 = 279.2347 ° $$
Вы можете избавить себя от всего этого беспорядка, получая угловые расстояния напрямую от Wolfram Alpha, или вы можете рассчитать их самостоятельно.2} $$
Оно будет покрывать 1,0134% небесной сферы и станет 40-м по величине созвездием в небе, больше Козерога, но меньше Овна.
| ||||
Калькулятор прямоугольного треугольника | Найдите a, b, c и угол
Найти недостающую сторону или угол проще простого, чем с помощью нашего замечательного инструмента — стороны прямоугольного треугольника и калькулятора углов.Выберите два заданных значения, введите их в калькулятор, и оставшиеся неизвестные будут определены в мгновение ока! Если вам интересно, как найти недостающую сторону прямоугольного треугольника, продолжайте прокручивать, и вы найдете формулы, лежащие в основе нашего калькулятора.
Как найти стороны прямоугольного треугольника
Есть несколько методов получения длин сторон прямоугольного треугольника. В зависимости от того, что дано, вы можете использовать разные отношения или законы, чтобы найти недостающую сторону:
- Учитывая две стороны
Если вы знаете две другие стороны прямоугольного треугольника, это самый простой вариант; все, что вам нужно сделать, это применить теорему Пифагора:
a² + b² = c²
, если отрезок
aявляется отсутствующей стороной, преобразовать уравнение к форме, когда a находится на одной стороне, и извлечь квадратный корень:a = √ (c² - b²), если нога
bнеизвестна, тоb = √ (c² - a²)для гипотенузы c отсутствует, формула
c = √ (a² + b²)
- Заданный угол и гипотенуза
Примените закон синусов или тригонометрии, чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника:
- Заданный угол и одна ножка
Найдите недостающую ногу с помощью тригонометрических функций:
a = b * tan (α)b = a * tan (β)
- Заданная площадь и одна нога
Как мы помним из основной формулы площади треугольника, мы можем вычислить площадь, умножив высоту и основание треугольника и разделив результат на два.Прямоугольный треугольник — это частный случай разностороннего треугольника, в котором одна ножка является высотой, а вторая ножка является основанием, поэтому уравнение упрощается до:
площадь = a * b / 2
Например, если нам известна только площадь прямоугольного треугольника и длина участка a , мы можем вывести уравнение для других сторон:
-
b = 2 * площадь / a -
c = √ (a² + (2 * площадь / a) ²)
Как найти угол прямоугольного треугольника
Если вы знаете, что один угол отличается от прямого, вычисление третьего угла несложно:
Учитывая β : α = 90 - β
Для α : β = 90 - α
Однако, если заданы только две стороны треугольника, определение углов прямоугольного треугольника требует применения некоторых основных тригонометрических функций:
для α
-
sin (α) = a / c, поэтомуα = arcsin (a / c)(обратный синус) -
cos (α) = b / c, поэтомуα = arccos (b / c)(обратный косинус) -
tan (α) = a / b, поэтомуα = arctan (a / b)(арктангенс) -
cot (α) = b / asoα = arccot (b / a)(обратный котангенс)
и для β
-
sin (β) = b / c, поэтомуβ = arcsin (b / c)(обратный синус) -
cos (β) = a / c, поэтомуβ = arccos (a / c)(обратный косинус) -
tan (β) = b / a, поэтомуβ = arctan (b / a)(арктангенс) -
cot (β) = a / bsoβ = arccot (a / b)(обратный котангенс)
Как решить прямоугольный треугольник с одной стороной?
Чтобы собрать треугольник с одной стороной, вам также понадобится , один из непрямых углов .Если нет, то невозможно:
- Если у вас есть гипотенуза , умножьте ее на sin (θ) , чтобы получить длину стороны , противоположной углу .
- Либо умножьте гипотенузу на cos (θ), чтобы получить сторону, примыкающую к углу.
- Если у вас есть сторона без гипотенузы рядом с углом , разделите его на cos (θ) , чтобы получить длину гипотенузы .
- Либо умножьте эту длину на tan (θ), чтобы получить длину стороны, противоположной углу.
- Если у вас есть угол и сторона , противоположная , вы можете разделить длину стороны на sin (θ) , чтобы получить гипотенузу .
- Или разделите длину на tan (θ), чтобы получить длину стороны, примыкающей к углу.
Как найти недостающую сторону прямоугольного треугольника? Как найти угол? Пример
Давайте покажем, как найти стороны прямоугольного треугольника с помощью этого инструмента:
- Предположим, мы хотим найти недостающую сторону, заданную площадь и одну сторону. Выберите нужный вариант из раскрывающегося списка . Это третий.
- Введите указанные значения . Например, площадь прямоугольного треугольника равна 28 кв. Дюйм, а b = 9 дюймов.
- Наш калькулятор сторон и углов прямоугольного треугольника отображает недостающие стороны и углы! Теперь мы знаем, что:
- a = 6,222 дюйма
- c = 10,941 дюйм
- α = 34,66 °
- β = 55,34 °
Теперь давайте проверим, как работает поиск углов прямоугольного треугольника:
- Обновите калькулятор. Выберите нужный вариант . Предположим, что у нас есть две стороны, и мы хотим найти все углы. Вариант по умолчанию — правильный.
- Введите длину стороны . В нашем прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 дюймов, а катет a = 5 дюймов.
- Отсутствует сторона и углы . В нашем примере b = 12 дюймов, α = 67,38 ° и β = 22,62 °.
Сколько линий симметрии у прямоугольного треугольника?
Если прямоугольный треугольник равнобедренный (т.е., его две негипотенузные стороны имеют одинаковую длину) он имеет одну линию симметрии . В противном случае в треугольнике будет без линий симметрии .
Может ли прямоугольный треугольник иметь равные стороны?
Нет, у прямоугольного треугольника все 3 стороны не могут быть равны , так как все три угла также не могут быть равны, , поскольку один должен быть 90 ° по определению. Однако у прямоугольного треугольника две стороны, не являющиеся гипотенузой, могут быть равны по длине. Это также будет означать, что два других угла равны 45 °.
Все ли прямоугольные треугольники подобны?
Не все прямоугольные треугольники похожи на , хотя некоторые могут быть такими же. Они похожи, если все их углы имеют одинаковую длину или если соотношение двух сторон одинаково.